梁理論の補足

＜梁理論の補足＞

梁理論は，長さのある構造材を一本の線にモデル化する考え方を整理するものです。

建築分野では，柱・梁のように断面に比べて長さのある構造材料が多く使われますので，梁理論やその考え方で構造計算を解いていく場面が多いです。

梁理論でいう「一本の線にモデル化する」とは，太さのある柱や梁を太さのない線に置き換えることですが，その時に，軸方向歪の剛性と曲げ変形（曲率）の剛性を比例定数に置き換えて，それが長さ方向に存在して，その線材が軸力も曲げモーメントも伝える構造体とするものです。

梁理論の中核部分が，この比例定数への置き換え方です。答えは，

ですが，なぜそうなるのかが問題です。まず前提条件として，梁の断面は軸力や曲げモーメントを作用させて変形させても，もともと平面だったものは平面であり続けると仮定しています（ベルヌーイ・オイラーの平面保持仮定）。この仮定では軸力に対して断面全域が同じ歪を持ちＥεの応力が生じ，それを面積で積分すればその断面に作用する軸力になります。均等な値（１）を面積で積分しますからそれは断面積です。よって，Ｐ＝ＥＡεが成立します。

曲げについては，例えば「梁における曲げモーメントと断面二次モーメントについて」で説明されていますからみてください。

＜断面二次モーメントの算出＞

次は断面二次モーメントの算出を説明します。

Ｉ＝∫ｘ^２ｄＡ

です。ｘ軸は断面内の曲げモーメントを受けて歪が生じる方向とします。前提として，ｘ軸の原点を断面の図芯に置かなければいけません。

したがって，断面二次モーメントの算出には，図芯の算出と上記積分の２つの知識が必要です。

図芯の算出は，まず座標原点を断面の端のあたりに仮において，

ａ＝（∫ｘｄＡ）／Ａ

のａが仮に置いた原点から図芯までの距離です。ちなみに，図芯の位置に原点をおき直して（∫ｘｄＡ）／Ａを計算すると答えは０になります。当然ですね。

座標原点をその図芯においてから，Ｉ＝∫ｘ^２ｄＡを計算すれば，断面二次モーメントが算出できます。

算出例はこちら〈断面二次モーメントと断面係数の算出〉です。

＜断面係数の算出＞

断面係数は，その断面に生じる最大応力と作用している曲げモーメントの関係を示す比例定数です。

です。Ｍ＝ＥＩφでＭ＝Ｚσですから，φとσの関係が規定できれば，ＩとＺの関係が導き出せます。その断面に生じる最大応力がどこで生じるかと言えば，断面の外側の縁です。図芯から断面の縁までの距離をａとすると，φの曲率が生じたときの縁の歪はφ×ａであり，歪×Ｅが応力ですから，σ＝Ｅａφが成り立ちます。その結果，

Ｚ＝Ｉ／ａが導き出せます。

例えば，長方形断面はＩ＝ＢＤ^３／１２で，縁までの距離はＤの半分ですから，Ｚ＝ＢＤ^２／６となります。

Ｉは積算などの手法を使って算出しますが，ＺはＩがわかりさえすれば，図芯から縁までの距離で割り算するだけで算出できます。これは円断面であろうともっと複雑な形の断面であろうと同じです。

＜断面二次モーメントと断面係数の意義＞

断面二次モーメントと断面係数をどのように使うのか。

断面二次モーメントは，モーメントと変形をつなぐ係数です。すなわち剛性です。建物の構造体に地震力などが作用した場合に必要なのが構造体各部の剛性で，それが断面二次モーメントです。これを使うことで構造体各部のモーメントなどの断面力を算出できます。

断面係数は，モーメントとその断面に生じる最大応力をつなぐ係数です。上記で算出した構造体各部のモーメントからその断面に生じる最大の応力が算出できます。その構造体が安全かどうかの指標として，許容応力度内に収まっていることの検証に用います。

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＜備考＞

建築分野では，Ｈ形鋼のように対象断面であることが多いので図芯は断面の中心になりますから図芯を求める場面は少ないです。建築士試験の構造問題でも対称断面であることが多いですが，稀にフランジ長さが異なるＨ形鋼が問題として使われることがあります。図芯の算出方法もいっしょに覚えてください。断面二次モーメントの算出が「距離の二乗を面積で積分する」とわかっていても図芯の算出方法を忘れていたためにその問題すべてがバツになってしまったという話を聞いたことがあります。悔やみきれないお話です。

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このページの公開年月日：２０１６年７月１８日